Teoria de circuits
2. Teoria de circuits
Les lleis de l'electricitat aplicades als diferents dispositius obren tot un camp de l'enginyeria que s'anomena teoria de circuits. En la teoria de circuits hi ha totes les eines necessàries per dissenyar, calcular i analitzar el comportament dels circuits elèctrics i electrònics, des de les eines més senzilles i elementals fins a les més complexes, tot plegat acompanyat de l'aparell matemàtic necessari, que a vegades és fàcil de manipular i altres vegades és força costós.
2.1. Llei d'Ohm
!!
Vegeu “Resistència elèctrica” en l'apartat “Introducció i conceptes generals d'electricitat” d'aquesta unitat.
La llei d'Ohm estableix la relació entre les tres magnituds elèctriques més bàsiques: resistència, tensió i intensitat. Va ser formulada, l'any 1827, pel matemàtic i físic alemany Georg Ohm.
La intensitat del corrent elèctric que passa per dos punts d'un conductor és directament proporcional a la diferència de potencial o a la tensió que s'hi aplica i inversament proporcional a la seva resistència.
Per calcular aquestes magnituds –intensitat, tensió i resistència– es poden emprar diferents versions d'una mateixa equació:
- Tensió:
- Resistència:
- Intensitat:
Figura 14. Circuit experimental de la llei d'Ohm
Comprovar la llei d'Ohm
El circuit de la figura 14 recull un mètode per comprovar la llei d'Ohm: una font de tensió (V, a l'esquerra de la imatge) fa anar un corrent elèctric (I) per una resistència (R).
Mitjançant l'amperímetre (A), connectat en sèrie al circuit, i el voltímetre (V a la dreta de la imatge), connectat en paral·lel al circuit, es pot comprovar la llei d'Ohm.
2.2. Resistència interna d'un generador
Qualsevol dispositiu que aporti corrent a un circuit, en principi, pot ser modelat com un generador o font de tensió en sèrie amb una resistència anomenada resistència interna de la font, que matemàticament serveix per tenir en compte les pèrdues que s'hi produeixen.
Aquest és un fenomen real que ocorre en totes les fonts d'alimentació: mesurant la tensió de la font, no s'obtindrà el mateix resultat amb els terminals oberts que quan hi circula un corrent (vegeu el model circuital representat en la figura 15). Això és degut a imperfeccions de materials i de dissenys.
La resistència interna d'un generador serveix per modelar globalment totes les pèrdues que s'hi produeixen.
Figura 15. Font amb la seva resistència interna
2.3. Llei d'Ohm generalitzada per a circuits de corrent continu
En cas que en una malla o en un circuit hi hagi més d'una font de tensió o més d'una resistència, es pot demostrar matemàticament que el corrent en el circuit ve donat pel següent:
∑R és la suma de totes les resistències al llarg del circuit. ∑V és la suma dels valors de totes les fonts de tensió al llarg del circuit, tenint en compte que es consideraran positives si el corrent surt pel terminal positiu de la font i negatives si el corrent entra pel terminal positiu de la font.
2.4. Resistència d'un conductor. Resistivitat
Els conductors són materials que presenten una gran facilitat per transportar el corrent elèctric. La resistència d'un cos homogeni es calcula mitjançant l'equació següent:
Aquí, ρ és la resistivitat del material, L és la longitud del cos i S és l'àrea de la secció transversal.
La resistivitat o resistència específica és un paràmetre de cada material que expressa com de bon conductor és. Es designa amb la lletra grega ρ i s'expressa en 
o més freqüentment en 
.
La resistivitat expressa la resistència que el material presenta al pas del corrent per unitat d'àrea de secció de material i per unitat de longitud. D'aquesta manera, per conèixer la resistència que té un bloc d'un material concret, només s'ha de multiplicar la seva resistivitat per les seves dimensions. En la taula 2 podeu consultar les resistivitats d'alguns materials.
Taula 2. Resistivitats d'alguns materials
| Material |  (Ω · m) |
|---|---|
| Argent | 1,55 · 10-8 |
| Coure | 1,70 · 10-8 |
| Or | 2,22 · 10-8 |
| Alumini | 2,82 · 10-8 |
| Wolframi | 5,65 · 10-8 |
| Ferro | 6,40 · 10-8 |
| Níquel | 8,90 · 10-8 |
| Platí | 10,60 · 10-8 |
| Estany | 11,50 · 10-8 |
| Grafit | 60,00 · 10-8 |
Exemple de càlcul de resistència d'un cable
Per calcular la resistència d'un cable de coure de 25 mm2 de secció i 50 m de llarg, primer cal buscar quina és la resistivitat del coure. Tal com mostra la taula 2, és la següent:
Així, la resistència del cable serà la següent:
2.5. Potència elèctrica
En general, la potència es defineix com la quantitat d'energia que es transporta (o treball que es consumeix) per unitat de temps. En una resistència o circuit resistiu, es calcula amb aquesta equació:
Un corrent que flueix per un circuit pot transferir energia en forma de calor (reacció termodinàmica), de treball mecànic, de reacció química, etc. Els diferents dispositius transductors que hi ha proporcionaran l'energia subministrada en el format que nosaltres necessitem: calor (estufes), llum (bombetes, tubs fluorescents), moviment (motors), fred (refrigeradors), so (altaveus), i molts altres.
Evidentment, com més potència subministrem al sistema, més quantitat aconseguirem de l'efecte que volem, és a dir, més potent serà el sistema.
2.6. Energia elèctrica
L'energia elèctrica és la forma d'energia resultant d'una diferència de potencial entre dos punts, cosa que permet establir un corrent elèctric entre ells per obtenir un treball. Com a energia, pot ser transformada en moltes altres formes d'energia, com ara energia tèrmica, energia lumínica o energia mecànica.
La suma de la potència consumida en cada moment permet calcular l'energia que consumeix una instal·lació. Així, per exemple, els comptadors que fan servir les companyies de l'energia elèctrica mesuren aquest consum i després facturen al client l'energia que ha fet servir.
2.7. Rendiment
El rendiment o eficiència d'un dispositiu, en general, i d'un component o circuit elèctric, en particular, és un número que expressa l'eficiència energètica del dispositiu en qüestió. És a dir, es tracta de saber quina quantitat de l'energia subministra es perd i quina quantitat no es perd.
El rendiment o eficiència, que es designa amb la lletra grega eta (η), d'un sistema o dispositiu és el quocient entre l'energia obtinguda del seu funcionament (l'energia útil) i l'energia subministrada per al seu funcionament.
El rendiment es calcula mitjançant aquesta equació matemàtica:
Definit així, 
sempre serà un número entre 0 i 1, de manera que el podem expressar en forma de percentatge només multiplicant-lo per 100:
Evidentment, com més a prop d'1 (100%) és el rendiment, més eficient és el sistema o dispositiu.
Exemple de càlcul amb l'eficiència
Per calcular la potència elèctrica que consumeix un motor elèctric que segons el fabricant té una eficiència del 83% i lliura al seu eix una potència mecànica de 6250 W, sabeu el següent:
El càlcul també es pot fer prenent en consideració la potència i l'energia. En aquest cas, s'aïlla Esubministrada:
La potència subministrada, com resulta evident, sempre és més gran que la potència obtinguda en la sortida.
2.8. Efecte químic de l'electricitat
El pas d'un corrent elèctric per un cos pot induir a canvis químics en algunes substàncies: el corrent elèctric pot forçar una reacció química que coneixem amb el nom d'electròlisi i que consisteix en l'efecte contrari al que es produeix en les piles i les bateries.
Quan es far passar un corrent per una solució, els dos elèctrodes (pols) atreuen els ions de signe contrari i d'aquesta manera es produeix la descomposició de la substància dissolta.
Michael Faraday (1791-1867)
El físic i químic anglès Michael Faraday (1791-1867) va estudiar l'electromagnetisme i l'electroquímica i ha passat a la història per ser el descobridor de la inducció electromagnètica. Va enunciar, però, les lleis de l'electròlisi que porten el seu nom entre 1833 i 1836, tot i que el fenomen havia estat descobert casualment per William Nicholson i Anthony Carlisle el 1800 quan de manera involuntària van aconseguir la descomposició de la molècula d'aigua (H2O) mitjançant l'aplicació d'una tensió elèctrica.
Un altre efecte químic del corrent elèctric s'aprofita per al galvanitzat de plaques metàl·liques, procés que consisteix, mitjançant diferències de potencial, a aportar a sobre del ferro un placat molt fi d'un altre metall (zinc), que el protegirà de l'oxidació.
2.9. Efecte tèrmic de l'electricitat
Tots els materials conductors presenten certa resistència, per petita que sigui, al pas del corrent elèctric. Si el conductor té una petita resistència diferent de zero i és travessat per un corrent elèctric, es produeix un consum de potència a causa d'aquesta resistència:
I la potència consumida es tradueix en calor a dins del conductor (efecte Joule).
El pas del corrent a través de la resistència implícita del conductor produeix l'anomenat efecte Joule, que es tradueix en un escalfament del material a causa del xoc dels electrons amb els àtoms del material conductor en passar.
Hi ha altres efectes termoelèctrics:
- Efecte Seebeck: aplicant una diferència de temperatura entre les juntes de dos metalls o semiconductors apareix una diferència de potencial. Aquest efecte termoelèctric en què el corrent elèctric és generat per una diferència de temperatura duu el nom del físic alemany Thomas Johann Seebeck (1770-1831), que el va descriure el 1821. S'aplica al disseny de termoparells.
- Efecte Peltier: efecte contrari a l'efecte Seebeck, aplicant una diferència de potencial entre les unions de dos metalls o semiconductors es força una diferència de temperatura. Aquest efecte termoelèctric en què un corrent elèctric produeix una diferència de temperatura duu el nom del rellotger i físic francès Jean Charles Athanase Peltier (1785-1845), que el va descriure el 1831. S'aplica al disseny de cel·les Peltier per a sistemes de refrigeració.
- Efecte Thomson: efecte que relaciona l'intercanvi de calor, la diferència de temperatura i el corrent elèctric en qualsevol metall (excepte el plom). Aquest efecte termoelèctric que estableix la relació entre l'efecte Peltier i l'efecte Seebeck duu el nom del físic britànic William Thomson (1824-1907), també conegut com a lord Kelvin, que el va predir i després, el 1851, en va fer la demostració experimental.
2.10. Llei de Joule
James Prescott Joule (1818-1889)
L'energia calorífica produïda per un corrent elèctric depèn directament del quadrat del corrent que travessa un conductor, del temps que dura la conducció i de la resistència que el conductor oposa al pas del corrent.
Termodinàmica i electricitat
L'estudi de la naturalesa de la calor i el descobriment de la relació entre la calor i el treball mecànic, en què van intervenir el físic anglès James Prescott Joule i una sèrie de físics alemanys i francesos, va conduir a la teoria de la conservació de l'energia i a formular la primera llei de la termodinàmica. A més de col·laborar amb Lord Kelvin en els estudis que van dur a la formulació de l'escala absoluta de temperatures, Joule va formular quina era la relació que hi havia entre el corrent elèctric que passa per una resistència i la calor dissipada, que es coneix com la llei de Joule. La unitat del sistema internacional que mesura l'energia, la calor i el treball és el joule, J, i és el treball necessari per moure una càrrega d'1 coulomb (C) al llarg d'una diferència de potencial d'1 volt (V).
Mitjançant la llei de Joule es pot calcular la calor que es genera en una resistència per la qual passa un corrent. Es pot calcular de la manera següent:
Aquí, I és el corrent que travessa el conductor, R és la resistència i t és el temps durant el qual el corrent passa pel conductor. El resultat es mesura en joules (J).
El resultat també es pot expressar en calories (cal). S'aplica la fórmula següent:
2.11. Associació de resistències en sèrie
La connexió en sèrie és una configuració en la qual tots els components són travessats pel mateix corrent elèctric, és a dir, estan connectats de forma seqüencial: el terminal de sortida de l'un està connectat al terminal d'entrada del següent sense derivacions (vegeu la figura 16).
Figura 16. Acoblament de resistències en sèrie
Dos o més components es troben connectats en sèrie quan els seus terminals estan connectats de forma seqüencial, de manera que tots els components estan travessats pel mateix corrent elèctric.
En el circuit de la figura 16 resulta palès que en cada resistència cau la tensió:
Atès que aquestes tres caigudes de tensió estan, literalment, en rengle, resulta el següent:
D'acord amb el que diu la llei d'Ohm:
Si s'identifiquen els termes, aleshores ocorre el següent:
El circuit equivalent és el de la figura 17.
Figura 17. Circuit equivalent
La resistència equivalent de dues o més resistències en sèrie és la suma de les resistències que estan connectades en sèrie.
En general, per a n resistències connectades en sèrie fem el següent:
Pel que fa a les potències consumides, vegem el següent:
D'aquí, fem el següent:
Així tenim el següent:
Exemple de circuit amb resistències en sèrie
En el cas d'un circuit com, per exemple, el de la figura 16, amb R1 = 10 Ω, R2 = 7 Ω, R3 = 5 Ω i V = 15 V, per calcular les caigudes de tensió, els corrents i les potències en totes les resistències, heu de calcular la resistència equivalent i comprovar si els resultats són correctes. Vegem-ho.
El corrent és el mateix per a totes les resistències, ja que estan en sèrie:
En el qual,
Aíxí, tenim el següent
La caiguda de tensió en cada resistència:
Fixeu-vos que la suma de les tensions en cada resistència és igual al total de l'alimentació:
Les potències en cada resistència:
La resistència equivalent era la següent:
La potència a la resistència equivalent:
La suma de les potències calculades, efectivament, coincideix:
2.12. Associació de resistències en paral·lel
La connexió en paral·lel és una configuració en la qual tots els components estan sotmesos a la mateixa tensió. És a dir, estan connectats de tal manera que un terminal de cada component va a un node comú i l'altre terminal de cada component va a un altre node comú (vegeu la figura 18).
Dos o més components estan connectats en paral·lel si els seus terminals estan connectats de manera agrupada, cosa que fa que en tots els components hi hagi la mateixa caiguda de tensió.
Figura 18. Acoblament de resistències en paral·lel
En el circuit de la figura 18 es fa palès que totes les resistències tenen la mateixa tensió entre els seus borns, i que el corrent elèctric que proporciona la font es reparteix en les tres branques del circuit. D'aquesta manera, a cada resistència toca una porció, que no necessàriament ha de ser igual a les altres. Si ho expressem per mitjà d'un equació, tindrem el següent:
Per a cadascuna de les resistències:
Així, tenim el següent:
Segons la llei d'Ohm:
Si s'identifiquen els termes, aleshores tenim el següent:
La figura 19 mostra el circuit equivalent, en què RT és la resistència de valor equivalent al paral·lel de les resistències inicials.
Figura 19. Circuit equivalent
La inversa de la resistència equivalent de dues o més resistències en paral·lel és la suma de la inversa de les resistències que estan connectades en paral·lel.
En general, per a n resistències connectades en paral·lel, tenim el següent:
El cas particular de dues resistències en paral·lel
Amb dues resistències en paral·lel es pot treballar amb una expressió una mica més còmoda de manipular (i fins i tot de recordar). D'entrada, es parlaria del següent:
I fent operacions, tindríem el següent:
Dit d'una altra manera, la resistència equivalent de dues resistències en paral·lel és el producte de les dues resistències dividit per la suma de totes dues.
El cas particular de tres resistències en paral·lel
Amb tres resistències en paral·lel es pot treballar amb una expressió una mica més còmoda de manipular. D'entrada, es parlaria del següent:
I fent operacions, tindríem el següent:
Dit d'una altra manera, la resistència equivalent de tres resistències en paral·lel és el producte de les tres resistències dividit per la suma dels productes creuats de dos en dos.
Respecte a les potències consumides, tenim el següent:
D'aquí:
Així:
Exemple de circuit amb resistències en paral·lel Per calcular les caigudes de tensió, els corrents i les potències en totes les resistències d'un circuit com el de la figura 18, en el qual R1 = 10 Ω, R2 = 7 Ω, R3 = 5 Ω i V = 15 V, fixeu-vos que, com que estan en paral·lel, hi ha la mateixa tensió en totes les resistències:
Els corrents seran els següents:
Les potències seran les següents:
La suma de les potències:
Si a més també heu de calcular la resistència equivalent i comprovar si els resultats dels càlculs són correctes, començareu per la resistència equivalent:
El corrent per la resistència equivalent:
Aquest valor, efectivament, coincideix amb la suma dels corrents per cadascuna de les resistències:
La potència a la resistència equivalent també coincideix amb la suma:
2.13. Circuits amb associacions sèrie-paral·lel
Igual que és possible muntar resistències en sèrie i en paral·lel, es poden muntar combinant totes dues configuracions. La figura 20 mostra el muntatge combinat sèrie-paral·lel. Es veu clarament que R2 i R3 estan en paral·lel i que el conjunt està en sèrie amb R1.
Figura 20. Circuit mixt
Per resoldre aquest tipus de problemes cal seguir els passos següents:
- Veure quines resistències estan clarament en un dels sistemes coneguts (tant si són en sèrie com en paral·lel).
- Redibuixar el circuit amb la reducció corresponent.
- Un cop reduït al màxim el circuit, cal passar a calcular-ne els paràmetres necessaris.
Què cal fer per calcular un circuit mixt
Per exemple, en el circuit de la figura 20 caldria, en primer lloc, fer la identificació: R2 i R3 estan en paral·lel. S'assumeix que són una sola resistència, el valor de la qual és el següent:
R1 i R23 estan en sèrie. S'assumeix que són un sola resistència que té el valor següent:
A partir d'aquí ja es pot continuar el càlcul:
Conegut el valor d'I, atès que R123 és una agrupació sèrie, tindrem el següent:
D'aquesta manera, es coneix el valor de V1 i de V23.
A partir d'aquí, atès que R23 és una agrupació paral·lel, tindrem el següent:
Un cop conegudes totes les tensions i els corrents en el circuit, es pot passar a calcular-hi les potències.
Exemple de càlcul de caigudes de tensió, corrents i potències en un circuit mixt
Per calcular les caigudes de tensió, els corrents i les potències en un circuit com el de la figura 20, en què R1 = 10 Ω, R2 = 7 Ω, R3 = 5 Ω i V = 15 V, s'ha d'inspeccionar el circuit, cosa que permet saber que R2 està en paral·lel amb R3. D'aquesta manera, tenim el següent:
Aquest conjunt està en sèrie amb R1, de manera que ocorre el següent:
Pel que fa al càlcul del corrent per la resistència equivalent, tenim el següent:
Aquest corrent és el que passa per R1:
Es pot calcular la caiguda de tensió a R1:
La resta de tensió cau a R23:
R2 i R3 es troben en aquesta mateixa tensió perquè estan en paral·lel:
Podeu calcular els corrents en totes dues resistències:
La potència en cadascuna de les resistències:
La suma de les tres potències:
En efecte, coincideix amb la potència calculada a partir de la resistència equivalent (s'assumeix l'error en haver menyspreat els decimals):
2.14. Les lleis de Kirchhoff
Que el valor d'un paràmetre sigui negligible significa que es pot considerar que el seu valor és com si fos zero.
Les lleis de Kirchhoff es fan servir per resoldre circuits en què hi ha un o més generadors i una o més càrregues, connectats entre ells amb connectors de resistència negligible.
Node, branca i malla
Abans de continuar, cal tenir present el significat d'aquests conceptes, els qual apareixen de manera recurrent:
- Un node és un punt del circuit en què conflueixen dos o més conductors diferents. Si entre dos nodes no hi ha cap diferència de potencial, es consideren el mateix node.
- Una branca és la part del circuit que viatja entre dos nodes.
- Una malla és un circuit tancat que es pot recórrer sense passar dos cops pel mateix lloc.
La complexitat d'un circuit depèn del nombre de nodes i branques que té, no del nombre de components.
En la figura 21 es pot veure un circuit que està format per dos nodes, tres branques i dues malles.
Figura 21. Circuit amb diferents generadors i càrregues
Les dues lleis que Kirchhoff va enunciar –la llei dels nodes i la llei de les malles o tensions– faciliten la resolució sistemàtica de circuits i ho fan mitjançant la conversió d'un problema elèctric en un problema algebraic, tot tenint en compte les lleis de conservació de l'energia.
2.14.1 Llei dels nodes o dels corrents
La llei dels nodes o primera llei de Kirchhoff, una expressió de la conservació de l'energia, indica que un node no genera electrons ni en consumeix, és a dir, que tots els electrons que hi entren també n'han de sortir.
La suma dels corrents que entren en un node és igual a la suma dels corrents que en surten o bé la suma algebraica de tots els corrents d'un node és igual a zero.
Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887)
El físic prussià Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) va dur a terme avenços importants en l'electricitat i l'espectroscòpia, camps en els quals va enunciar importants lleis que es designen amb el seu nom. L'any 1845, quan encara era estudiant, va enunciar les seves dues lleis que deriven dels principis de la conservació de l'energia i de la càrrega.
Figura 22. Node amb dos corrents de sortida i dos corrents d'entrada
Per exemple, en un nus amb dos corrents que hi entren i dos que en surten, com el de la figura 22, l'expressió matemàtica seria d'aquesta manera:
2.14.2. Llei de les malles o de les tensions
Els generadors tenen un pol positiu i un pol negatiu: el pol és positiu quan està en una tensió superior.
La segona llei de Kirchhoff, que com la primera llei també és una expressió del principi de la conservació de l'energia, indica que en una malla no es genera tensió elèctrica espontàniament, és a dir, que totes les tensions que s'hi generen també hi han de caure.
En un camí tancat del circuit o malla, la suma dels increments de tensió és igual a la suma de les caigudes de tensió. Dit d'una altra manera, la suma algebraica de totes les tensions al llarg d'una malla és igual a zero.
Abans d'aplicar aquesta segona llei, convé establir unes regles per conèixer què significa increment i caiguda de tensió, és a dir, establir les polaritats de cada tensió. Això s'ha de fer per a tots els elements actius (generadors) i passius (resistències).
Totes les resistències sempre es comporten de la mateixa manera: quan hi passa un corrent es produeix una caiguda de tensió, de manera que el potencial del terminal per on entra el corrent elèctric és superior al potencial del terminal per on surt. En el sentit del recorregut del corrent elèctric es produeix una caiguda de tensió.
Cal dibuixar un corrent per a cada branca amb un sentit arbitrari, que us indicarà el signe de la caiguda de tensió en cada receptor.
Tot seguit es tria un sentit de recorregut de la malla (que pot ser el sentit en què es mouen les busques del rellotge o bé el contrari) i es ressegueix tota la malla dues vegades, una pels generadors i l'altra pels receptors (resistències), així es completen els dos termes d'una equació.
Per escriure les equacions s'adopta el conveni de signes següent:
- En els generadors, les tensions es consideren positives si el recorregut surt pel signe + de la font.
- En les resistències, el producte V · I es considera positiu si el sentit plantejat del corrent és el mateix que el del recorregut.
Cinc regles per resoldre un circuit amb les lleis de Kirchhoff
En general, per resoldre un circuit amb les lleis de Kirchhoff, s'ha de seguir un procediment que es pot sintetitzar amb els punts següents:
- Comptar el nombre de nodes que conté el circuit i assignar una lletra a cada node, en ordre alfabètic.
- Comptar el nombre de branques. S'assigna un corrent amb una direcció arbitrària i un nom a cada branca, tenint en compte que cada branca només pot tenir un corrent. Cada corrent és una incògnita.
- Aplicar les equacions de nodes. En general, si un circuit té n nodes, es poden plantejar n-1 equacions.
- Assignar un sentit de recorregut de les malles. Plantejar les equacions de tensions, tantes com facin falta per completar el nombre d'incògnites. Si hi ha m incògnites i hem fet n-1 equacions de nodes, hi haurà m-(n-1) equacions de malla.
- Es resol el sistema. Si els corrents donen valor positiu, vol dir que hem encertat en el seu sentit. Si donen un valor negatiu, vol dir que van en sentit contrari respecte al que s'havia plantejat prèviament.
Exemple de resolució de circuits amb les lleis de Kirchhoff
Preneu com a punt de partida el circuit amb dues malles de la figura 23, que s'haurà de resoldre mitjançant les lleis de Kirchhoff.
Figura 23. Circuit amb dues malles
Cal, però, fer una observació prèvia d'aquest circuit per mostrar-ne la dificultat i entendre'n millor l'estructura. Si us fixeu amb atenció en el circuit, observareu que té 2 nodes (A i B) i 3 branques (A-C-F-B, A-B i A-D-E-B). A més, a cada branca correspon un sol corrent, és a dir, a tots els components d'una branca passa el mateix corrent i, per tant, estan connectats en sèrie.
Hi ha tres incògnites, els tres corrents indicats en la figura, amb independència del nombre de components que hi ha en cada branca. Es pot dir que la dificultat en la resolució d'un circuit depèn de la seva estructura –el nombre de nusos i el nombre de branques–, no del nombre de components que hi ha en cada branca.
Per resoldre el circuit de forma sistemàtica, cal emprar les cinc regles. Vegeu-ho aplicat al cas del circuit de la figura 23:
- Nombre de nodes: 2 (A i B)
- Nombre de branques: 3
- Nombre de corrents: 3 ( I1, I2 i I3)
- Nombre d'incògnites: 3
- Equacions: 1 de nodes, node A. 2 de malles, A-B-F-C-A i A-D-E-B-A
Fetes aquestes consideracions prèvies, el node A es formula de la manera següent:
Per crear el sistema d'equacions que resoldrà el problema, utilitzarem els corrents que hi ha a cada malla (en concret I1 i I3), atès que simplifica molt el càlcul i que I2 es pot expressar en termes dels altre dos corrents. En realitat, en termes algebraics, només tenim dues incògnites, no pas tres.
La malla A-B-F-C-A:
La malla A-D-E-B-A:
Les equacions queden així:
Per resoldre aquest sistema de dues equacions amb dues incògnites podem aplicar, per exemple, el mètode de reducció. Es pot fer amb qualsevol altre mètode, tots són vàlids:
Multiplicarem la primera equació sencera per 51 (coeficient de I3 en la segona equació) i la segona equació sencera per 1 (coeficient de I3 de la primera equació). Farem això per tal que sumant o restant (en aquest cas sumant) les equacions senceres, la incògnita triada –I2– s'anul·li:
Aleshores, si sumem les dues equacions, tindrem el següent:
Un cop trobat I1, es tracta de buscar I3. Per fer-ho, cal substituir el seu valor en una de les equacions, per exemple la primera del sistema:
Finalment trobareu I2 subtituint en l'equació del nus:
Els resultats indiquen que hem encertat el sentit de I1, però I2 i I3 van en sentit contrari respecte del que s'havia suposat en començar a resoldre el problema (en els càlculs tenen signe negatiu).
