En els primers moments de la utilització de l'electricitat com a forma d'energia, l'electricitat es produïa en forma de corrent continu amb unes màquines anomenades dinamos. Aquestes màquines requerien intervencions de manteniment freqüents i el corrent continu s'havia de produir a prop del punt de consum, a causa de les grans pèrdues que es produïen en el transport.

Aquesta situació va durar poc i les dinamos aviat es van substituir pels alternadors. Actualment, tota l'energia elèctrica es genera en forma de corrent altern.

Figura 1. Un alternador elemental

Per poder fer càlculs de circuits de corrent altern cal haver assumit alguns conceptes bàsics, com les operacions amb vectors (saber sumar, restar, multiplicar i dividir amb vectors) i alguns dels conceptes fonamentals de trigonometria (sinus, cosinus, tangent, etc.).

Una vegada adquirits els conceptes matemàtics, es veurà l'equivalència dels conceptes matemàtics en resistències, condensadors i bobines. D'aquesta manera, s'avançarà en la resolució dels circuits.

El corrent altern té avantatges respecte del corrent continu pel que fa a la producció, el transport, la distribució i la utilització de l'energia elèctrica. El corrent continu és un corrent elèctric que no canvia de sentit i, en general, s'assumeix que el seu valor és constant. El corrent altern, en canvi, es caracteritza pel canvi periòdic de valor i sentit de les magnituds principals que el defineixen.

La forma més habitual de descriure un corrent altern serà mitjançant la forma de la funció matemàtica que descriu la variació de la tensió elèctrica (o la intensitat de corrent), si es coneix. El corrent altern més comú és el sinusoïdal, ja que pren com a model la funció matemàtica sinus. Aquesta forma en concret és la que és a causa del procés de generació del corrent elèctric, basat en una turbina giratòria.

Per poder treballar amb senyals de corrent altern sinusoïdal, primer hem de poder dir què és una ona periòdica i quins en són els valors característics. També hem de conèixer les regles principals de trigonometria.

Les magnituds que defineixen un senyal sinusoïdal són les següents:

• Amplitud: és el valor màxim que pot assolir el senyal.
• Freqüència: és la velocitat de variació del senyal.
• Desfasament: és l'avançament (o retard) que un senyal té envers un altre. Evidentment, només es pot definir respecte a una referència coneguda.

Si observem les ones de la figura 2, comprovarem que, al llarg del temps, el valor es modifica i que es repeteix la mateixa forma. Cadascuna d'aquestes repeticions s'anomena cicle. Un aspecte important d'un cicle és la duració en segons, que s'anomena període (T). Així, hi ha ones molt curtes, que duren mil·lèsimes de segon, i d'altres de més llargues, que duren desenes de segons.

Hi ha una altra manera de mesurar aquesta durada en el temps: considerar el nombre de cicles que hi ha per segon, és a dir, la freqüència (f). La unitat de mesura de la freqüència és l'hertz (Hz), que indica la quantitat de cicles que es produeixen en un segon.

Figura 2. Representació d'una ona periòdica

Les tensions i els corrents domèstics i industrials es representen amb ones periòdiques.

Tal com es desprèn dels conceptes que hem vist fins ara, com més curt és el període, més gran és el nombre de cops que es produeix en un segon, és a dir, més gran és també la freqüència:

Tal com es mostra en la taula 1, la freqüència i el període són magnituds inversament proporcionals.

Taula 1. Període i freqüència

Si ens fixem en el triangle rectangle de la figura 2, veurem que els quocients entre els costats del triangle defineixen les raons trigonomètriques del sinus, el cosinus i la tangent (vegeu la taula 2).

Taula 2. Raons trigonomètriques a partir dels quocients entre els costats d'un triangle

Raó trigonomètrica	Símbol	fórmula
Sinus d'alfa
Cosinus d'alfa
Tangent d'alfa

Figura 3. Triangle rectangle amb costats a i b, hipotenusa c i angle α

La taula 3 recull els diversos valors de les funcions trigonomètriques d'alguns dels angles d'una circumferència.

Taula 3. Valors de funcions trigonomètriques

Raó trigonomètrica	Símbol	fórmula
Sinus d'alfa
Cosinus d'alfa
Tangent d'alfa

Quan una ona de tensió sinusoïdal es posa en un circuit lineal (com una estufa o una bombeta), hi passa un corrent també sinusoïdal de la mateixa freqüència, però desplaçada un angle α respecte de la tensió (es diu desfasada un angle α).

Com que la freqüència de totes les magnituds elèctriques és la mateixa que la del generador, es pot treure del càlcul i només cal concentrar-se en la magnitud de l'ona i en l'angle de desfasament. És a dir, cal considerar l'ona associada a una magnitud i a un angle.

Una magnitud i un angle constitueixen un vector. Per això, una ona de tensió o corrent sinusoïdal es pot simbolitzar, si es vol, per mitjà del vector que hi correspon. Aquesta substitució comporta certs avantatges en el càlcul. Cal dir que el càlcul amb vectors, però, és més senzill que el càlcul amb funcions trigonomètriques.

De totes les ones periòdiques, les més importants són les ones sinusoïdals. Tenen unes propietats que les fan molt útils i fàcils de fer servir.

Les propietats més destacables de les ones sinusoïdals són les següents:

• El caràcter perfectament definit de la funció sinusoïdal.
• El fet que la major part d'operacions matemàtiques amb funcions sinusoïdals donen com a resultat funcions sinusoïdals.
• El fet que qualsevol altre tipus d'ones es poden descompondre en sumes de funcions sinusoïdals.
• Les ones sinusoïdals es poden generar amb facilitat i transformar per adaptar-les al consum.
• Les ones sinusoïdals permeten transportar grans quantitats d'energia de manera molt eficient i a grans distàncies.

En la figura 4 podem veure com es genera una ona sinusoïdal. En cada instant, el valor de la funció equival al valor de la projecció del vector R sobre l'eix Y.

Figura 4. Generació d'una ona sinusoïdal

L'expressió matemàtica d'una ona sinusoïdal és la següent:

Aquí, v és el valor de la funció en l'instant actual i V_màx és el valor màxim de la funció. ω és la pulsació o velocitat angular del radi r expressada en radians per segon, és a dir, l'angle recorregut per unitat de temps.

Si quan es dóna una volta sencera (2·π rad) es tarda un temps T (període), la velocitat angular serà la següent:

Aquí, T és el període de temps expressat en segons.

Com es pot veure, el producte dóna un angle expressat en radians. La correspondència entre graus i radians és la següent:

Taula 4. Valors instantanis

Atès que el valor de la tensió varia constantment, hi ha prop de sis valors d'una ona sinusoïdal característics d'aquesta tensió (vegeu la figura 5).

Figura 5. Valors d'una ona sinusoïdal

Com a exemple de cada apartat, es farà servir la funció de tensió següent:

Aquí, v és el valor instantani, és a dir, el valor de la tensió en cada instant de temps. Per exemple, per a t = 4 ms = 4 · 10⁻³ s, la tensió té el valor següent:

V_màx és el valor màxim, és a dir, el valor més gran de tots els instantanis, que indica la cresta de l'ona. En el nostre cas, V_màx = 400 V.

V_ef o V_eff és el valor eficaç, és a dir, el valor de corrent continu que produeix el mateix efecte Joule (escalfament) que el corrent altern considerat. Normalment una ona es dóna amb el seu valor eficaç. En el cas d'ones sinusoïdals, es dóna la relació següent:

En el nostre exemple,

V_mitjà és el valor mitjà. En un cicle sencer d'una funció sinusoïdal, com que la meitat dels valors són positius i l'altra meitat són negatius, el valor mitjà és 0.

f és la freqüència, és a dir, el nombre de vegades que es repeteix un cicle en un segon. Per exemple, com que se sap que

es té que

T és el període, és a dir, el temps que dura un cicle i coincideix amb la inversa de la freqüència. En el nostre exemple,

Els vectors es fan servir en electricitat per substituir funcions trigonomètriques d'ones sinusoïdals i simplificar-ne el càlcul. Per exemple, es pot substituir la suma de dues funcions sinusoïdals (que és una operació relativament difícil) per la suma de dos vectors (operació molt senzilla). Per això és important familiaritzar-se amb el concepte de vector i amb algunes de les operacions més comunes entre vectors. Tot seguit es repassaran els conceptes més elementals del càlcul de vectors.

Imaginem un pla i un origen de coordenades X-Y. Per indicar la posició de qualsevol punt del pla respecte de l'origen es fan servir vectors. Aquesta posició (i el vector corresponent) es pot indicar de dues maneres diferents (vegeu la figura 6):

• Mitjançant coordenades polars: es dóna la distància en línia recta respecte de l'origen (mòdul r) i l'angle que forma amb l'eix X (angle α).

• Mitjançant coordenades rectangulars: es dóna la distància X i la distància Y que s'ha de recórrer per arribar al punt corresponent.

Figura 6. El vector i les coordenades polars i rectangulars que té.

En el cas de la figura 6, el mòdul és la longitud de r i l'argument, l'angle α.

En coordenades polars, un vector queda definit amb el mòdul (r) i l'argument o angle (α). En coordenades rectangulars, un vector queda definit per les longituds de les seves projeccions a i b sobre els eixos coordinats X-Y. Així a és la projecció de r en la direcció de l'eix X i b és la projecció de r en la direcció de l'eix Y.

Les coordenades rectangulars es donen amb un parell de números. Per distingir la coordenada en l'eix Y s'hi afegeix el sufix j. Així, per exemple, el vector a = (3 + 4j) vol dir que X = 3 i Y = 4. És a dir: X_a = 3 i Y_a = 4.

Per a les coordenades polars es fa servir, en canvi, la forma següent:

Per exemple, el vector representa un vector que té un mòdul de 50 i un argument de 20°.

Atès que hi ha dues maneres de donar la mateixa informació (coordenades rectangulars i coordenades polars), hi ha d'haver una relació entre elles. Es pot passar d'un sistema a l'altre. Observeu les fórmules que es fan servir per efectuar aquest pas.

Per passar d'un sistema de coordenades rectangulars (a + bj) a un de coordenades polars (), es pot fer el següent:

Per passar d'un sistema de coordenades polars () a un sistema coordenades rectangulars (a + bj), es pot fer el següent:

Amb els vectors es poden fer tot tipus d'operacions, com amb els números. Les més importants són la suma i la resta, la multiplicació i la divisió.

La suma i la resta de vectors. Per sumar (o restar) dos vectors A i B, cal posar les seves coordenades en forma rectangular i sumar (o restar) les seves components x i y (vegeu la figura 7). Les components del vector suma S són les següents:

Figura 7. Suma de dos vectors amb les seves components rectangulars

El producte de vectors. Per multiplicar dos vectors A i B, cal posar-los en forma de coordenades polars, multiplicar els mòduls i sumar els arguments. Les components del vector producte P (vegeu la figura 8) són les següents:

Figura 8. Producte de dos vectors amb les seves components polars

La divisió de vectors. Per dividir dos vectors A i B, cal posar-los en forma polar, dividir els mòduls i restar els arguments (vegeu la figura 9). Les components del vector divisió D són les següents:

Figura 9. Divisió de dos vectors amb les seves components polars

Entre els receptors de corrent elèctric que es poden construir es produeixen diversos efectes que es poden modelitzar amb tres components clarament diferenciats. Són els efectes a causa de resistències, bobines i condensadors. En la taula 5 es recull el comportament de cada receptor.

Taula 5. Comportament dels receptors

En general, es diu que la llei d'Ohm es continua complint, però ara la impedància que ofereixen bobines i condensadors depèn de la freqüència del corrent. A més, aquestes components introdueixen desfasaments entre la tensió aplicada i el corrent que hi circula. Tot això ho veurem quan estudiem cada component per separat i serà la base per entendre, més endavant, els circuits en què tindrem més d'una component connectada a una font de tensió.

Quan el circuit només té resistència es diu que és un resistiu òhmic pur (vegeu la figura 10). Si aquesta resistència es connecta a una font de tensió de corrent altern, s'estableix una intensitat també alterna, de la mateixa freqüència i en fase amb la tensió.

Figura 10. Circuit amb resistència òhmica

Les relacions que s'estableixen són les següents:

Aquí, V i I són els valors eficaços de tensió i intensitat.

Es diu que la resistència és un nombre real (és com un vector d'angle 0) perquè no introdueix desfasament entre la tensió i el corrent. És a dir, si la tensió té un angle α, el corrent està en el mateix angle. Per això la resistència es representa com un vector a 0°.

En la figura 11 es mostra el diagrama vectorial que representa la tensió, la resistència i la intensitat d'un circuit òhmic pur.

Figura 11. Vectors en un circuit òhmic

El valor d'una bobina es dóna en henrys (H). Com que és una unitat molt gran, es fan servir submúltiples. El més emprat és el mil·lihenry, mH = 10⁻³ H.

Una bobina ofereix una dificultat al pas del corrent elèctric altern que depèn de la freqüència de la tensió aplicada. A més a més, produeix un desfasament de 90° entre la tensió aplicada i el corrent absorbit. Per això rep el nom de reactància inductiva (X_L) (vegeu la figura 12).

Figura 12. Circuit inductiu pur i la representació cartesiana de la tensió i la intensitat endarrerida 90°

En la figura 13 es mostren els valor de la reactància inductiva, la tensió i el corrent elèctric en un circuit inductiu pur en forma vectorial.

Figura 13. Vectors en un circuit inductiu pur

Una bobina produeix un endarreriment de 90° del corrent respecte de la tensió. Això vol dir que la reactància inductiva és un vector que està avançat 90° respecte de l'eix X (és a dir, és sobre la part positiva de l'eix Y).

Una bobina, en corrent altern, té una reactància inductiva X_L = L · 2 · π · f avançada 90° (sobre l'eix Y positiu), endarrereix el corrent 90° respecte de la tensió, consumeix potència reactiva i, en canvi, no consumeix potència activa.

Figura 14. Vectors de l'exemple

En la figura 14 es mostra la tensió aplicada a la bobina i la intensitat que hi passa (endarrerida 90º respecte de la tensió). Observeu que la potència és positiva quan V i I són positives o negatives al mateix temps. En canvi, el signe de la potència es torna negatiu quan la tensió i la intensitat tenen signes diferents (l'una és positiva i l'altra negativa).

Figura 15. Potència en un circuit inductiu

Tal com es mostra en la figura 15, el valor mitjà de la potència que absorbeix una bobina de la xarxa és 0. Aquest resultat es pot obtenir igualment emprant la fórmula donada per trobar les potències.

Un condensador ofereix una dificultat al pas del corrent elèctric que depèn de la freqüència de la tensió aplicada. A més a més, produeix un desfasament de 90° entre la tensió aplicada i el corrent absorbit. Per això rep el nom de reactància capacitiva (X_C).

El valor d'un condensador s'expressa en farads (F), però atès que és una unitat molt gran, se'n fan servir els submúltiples (vegeu la taula 6).

Taula 6. Els submúltiples del farad més utilitzats

En la figura 16 es mostra un circuit capacitiu i la representació cartesiana de la tensió i la intensitat avançada 90°.

Figura 16. Circuit capacitiu pur

En la figura 17 es mostren els mateixos valors però de forma vectorial. Si es posa la tensió a 0°, la X_C està a −90° i la intensitat avança 90° respecte de la tensió.

Figura 17. Vectors en un circuit capacitiu pur

La reactància capacitiva d'un condensador depèn de la freqüència de la tensió aplicada i té l'expressió següent:

Figura 18. Representació vectorial de les magnituds de l'exemple d'un condensador de 100 μF

Si es combinen els tres elements passius per excel·lència, les resistències, els condensadors i els inductors, es poden dissenyar les tres estructures habituals de tipus RLC, que són les següents:

• Circuits RL
• Circuits RC
• Circuits RLC

Tot i que el procés de càlcul de cadascun dels circuits sempre és el mateix, val la pena veure'ls per separat per tal d'observar amb deteniment les propietats específiques de cadascuna de les tres configuracions: en el circuit RL es produeix un endarreriment del corrent respecte a la tensió, perquè la bobina pot respondre immediatament als canvis de tensió, però no als de corrent; en el circuit RC es produeix un efecte anàleg però contrari, de manera que s'observa un avançament del corrent respecte de la tensió perquè el condensador no pot respondre immediatament als canvis de tensió elèctrica, i en els circuits RLC es produeix un efecte interessant, ja que el circuit presenta un mínim d'impedància a una freqüència que és funció dels valors de L i C.

Una bobina és un fil conductor enrotllat sobre una base aïllant. Aquest fil té una certa resistència òhmica, és a dir, que una bobina real sempre anirà acompanyada d'una petita resistència. De vegades, aquesta resistència és tan petita que el seu valor es pot negligir (considerar que és pràcticament 0), però no sempre és així.

A part de la pròpia resistència interna, una bobina pot estar en sèrie amb una component de resistència i formar el que es coneix com un circuit RL, com el que es mostra en la figura 19, en aquest cas un circuit d'una bobina i una resistència en sèrie.

Si es connecta un generador de corrent altern a un circuit RL, hi passa una intensitat i hi ha unes caigudes de tensió en cada component, i també potències activa, reactiva i aparent consumides. Resoldre aquest circuit és trobar totes aquestes intensitats, caigudes de tensió i potències.

Figura 19. Circuit RL

En la figura 19 es mostra un circuit RL i les formes d'ona de la tensió i la intensitat que hi passa. Com que el circuit té una resistència i una bobina, la impedància total té un angle positiu, però inferior a 90º i, per tant, la intensitat està endarrerida respecte de la tensió aquest mateix angle.

Una resistència es representa amb un vector sobre l'eix X, que té de mòdul el valor de la R i l'angle 0 ().

Una reactància inductiva es representa com un vector sobre l'eix Y positiu, que té de mòdul el valor de la X_L i un angle de +90° ().

Com que totes dues components estan en sèrie, cal sumar els dos vectors. La composició en sèrie o en paral·lel de resistències i reactàncies rep el nom d'impedància (Z).

Figura 20. Triangle d'impedàncies en un circuit RL

En el cas d'una reactància inductiva i una resistència en sèrie, la impedància total val el que es pot observar en la figura 20. En forma rectangular:

En forma polar, el mòdul de Z:

i l'angle de Z:

Amb la qual cosa es pot posar que, en forma polar,

Figura 21. Diagrama de tensions en un circuit RL

Les tensions prenen valors calculables. Segons la figura 21, les potències valen el següent:

• Potència aparent:
• Potència activa:
• Potència reactiva:

Es pot comprovar en la figura 22, en què es mostra el diagrama de potències.

Figura 22. Diagrama de potències

Figura 23. Simulació del circuit RL

En la figura 24 es pot veure un circuit d'un condensador i una resistència en sèrie. Es pot apreciar com la intensitat està avançada respecte de la tensió un angle inferior a 90°.

Figura 24. Circuit RC en corrent altern

Per a la representació amb vectors:

• Una resistència es representa amb un vector sobre l'eix X (valor, R i angle 0°).
• Una reactància capacitiva es representa amb un vector sobre l'eix Y negatiu (valor, el de la X_C i angle de −90°).

Com que totes dues components estan en sèrie, hem de sumar els dos vectors per calcular la impedància. En el cas d'una reactància capacitiva i una resistència en sèrie, la impedància total val, en forma rectangular:

En forma polar, el mòdul de Z:

I l'angle de Z:

Aleshores, es pot escriure que, en forma polar:

.

Resoldre aquest circuit és trobar totes les intensitats, les caigudes de tensió i les potències consumides, com es pot observar en la figura 25.

Figura 25. Triangle d'impedàncies d'un circuit RC

Observem que ara, en ser Z_C negativa, l'angle α és negatiu. Veiem també que el corrent està avançat un angle α igual al de la impedància.

Les tensions tenen el valor que s'indica en la figura 26.

Figura 26. Diagrama de tensions d'un circuit RC

I les potències (vegeu la figura 27):

• Potència aparent:
• Potència activa:
• Potència reactiva:

Figura 27. Diagrama de potències d'un circuit RC

Figura 28. Simulació d'un circuit RC

En un circuit RLC sèrie hi ha connectats una resistència, un condensador i una bobina en sèrie. Anàlogament en els circuits RC i RL, la resolució mitjançant vectors és la millor eina. En aquest cas, en dibuixar els vectors de les reactàncies us adonareu que, com que tenen la mateixa direcció i sentits oposats, l'un anul·larà l'altre, de manera que nomes hi quedarà la component predominant.

Exemple de càlculs en circuits RLC

Calculeu les intensitats, les caigudes de tensió i les potències que es produeixen en un circuit RLC en sèrie connectat a una font de corrent altern de 100 V i una freqüència de 71,176 Hz. Les components passives són R = 100 Ω, L = 50 mH, C = 100 μF. En la figura 29 podeu veure el circuit amb els valors de les components. S'hi han afegit tres voltímetres i un amperímetre per tal de mesurar les tensions en cada component i la intensitat del circuit.

Figura 29. Simulació d'un circuit RLC

Comencem per calcular la impedància del condensador:

Després calculem la impedància de la bobina:

La suma de la reactància de la bobina i el condensador val el següent:

Aquest és el resultat en l'eix de les Y. En l'eix de les X tenim el valor de la resistència (100 Ω). En forma rectangular, la impedància total és:

En aquest cas el circuit estaria funcionant a la freqüència de ressonància.

Observeu que en ser un circuit predominantment capacitiu −la impedància del condensador és superior a la de la bobina− el corrent està avançat respecte de la tensió i a l'inrevés: en un circuit predominantment inductiu −la impedància de la bobina és superior a la del condensador− el corrent està endarrerit respecte a la tensió.

En general, en termes vectorials, si es té una tensió V amb un angle α (V_α) i un corrent I amb un angle β (I_β), es defineix una potència aparent S com el producte vectorial

Aquí, I * és el vector conjugat del corrent (angle β canviat de signe). Operativament, es pot calcular així:

És a dir, el valor eficaç de la tensió, amb el seu angle, multiplicat pel valor eficaç del corrent amb l'angle canviat de signe.

Aquesta potència es diu aparent perquè no és la potència realment consumida, però és un valor important perquè és la potència que circula per la línia elèctrica (part de la potència S es consumeix i part torna a la línia).

Figura 30. Potència sinusoïdal

Com es pot veure en la figura 30, la potència té una freqüència doble respecte de la tensió i el corrent. Hi ha una part de la potència que és negativa (que es retorna a la xarxa) i una part que és positiva (que es consumeix realment). El valor mitjà de la potència consumida és superior a 0, si α és diferent de 90°. Això passa sempre si en el circuit hi ha alguna resistència.

Observem que la potència aparent és un vector que pot estar donat per les seves coordenades polars o rectangulars. En cas que estigui donat per les coordenades polars (S_α-β = S_φ), S representa el valor de la potència aparent i l'angle α-β, el factor de potència. Si està donat per les coordenades rectangulars (S = P + Q_j), S representa igualment la potència aparent, P la potència activa consumida i Q la potència reactiva.

Si representem la potència (S_α-β = S_φ) en un sistema X-Y, veurem el significat de les seves components rectangulars.

Figura 31. Potència aparent, potència activa i potència reactiva

Per completar la figura 31, en la taula 7 s'especifiquen la denominació i les unitats de cada potència.

Taula 7. Potències vectorials