Càlculs i paràmetres en sistemes trifàsics
2. Càlculs i paràmetres en sistemes trifàsics
A grans trets, un sistema trifàsic és el conjunt de tres sistemes monofàsics que es podrien considerar independents. En realitat no ho són, sinó que estan relacionats entre ells per uns desfasaments concrets que permeten tractar el sistema com un conjunt. Les normes i les lleis són les universals de l'electricitat, particularitzades per als sistemes amb tres fases. De manera anàloga als sistemes monofàsics, la potència i el factor de potència tenen una importància decisiva.
2.1. Potència en sistemes trifàsics
Quan es tracta de corrent altern (AC) sinusoïdal, la mitjana de potència elèctrica desenvolupada per un dispositiu de dos terminals és una funció dels valors eficaços o valors quadràtics mitjans, de la diferència de potencial entre els terminals i de la intensitat de corrent que passa a través del dispositiu. En tots els sistemes trifàsics hi ha dos tipus de connexió: en estrella i en triangle. El càlcul de la potència en els dos tipus de circuits és diferent, de manera que es fan raonaments que també són diferents.
2.1.1. Càlcul de la potència en un sistema connectat en estrella
En el cas d'un generador, la potència total lliurada serà la suma de les potències lliurades per les tres fases del sistema. Si, per exemple, es tracta d'un sistema equilibrat, les tres potències són iguals:
Amb la calculadora…
… si teniu el cosinus i voleu trobar l’angle, es fa servir la tecla de funció inversa juntament amb la de cosinus [INV] [COS].
Aquí, VF és la tensió de fase, VL és la tensió de línia, IF és el corrent de fase, IL és el corrent de línia i φ és l'angle entre l'IF i la VF.
Exemple de càlcul de les potències consumides per un sistema trifàsic
Suposeu que voleu calcular les potències consumides per un sistema trifàsic que té una VF = 240 V, un IF = 40 A i un cosφ = 0,7. D'entrada, com que les dades que teniu són les de fase i no coneixeu el tipus de connexió, caldrà que utilitzeu les fórmules per calcular la potència que fan servir les dades de fase. A més a més, també cal tenir present que necessitareu conèixer el sinus i el cosinus de l'angle tot prenent com a punt de partida la dada inicial del cosinus (cosφ = 0,7). No heu d'oblidar que amb la calculadora primer obteniu el valor de l'angle i després el del sinus:
Ara, cal fer el següent:
Fins ara heu vist la connexió en estrella i les propietats que té. Tot seguit veureu el segon tipus de connexió per formar un sistema trifàsic, que és la connexió en triangle.
2.1.2. Càlcul de potència en triangle
En el cas d'un generador, la potència total lliurada serà la suma de les potències lliurades per les tres fases del sistema. Amb el benentès que sigui un sistema equilibrat, les tres potències són iguals:
Aquí, VF és la tensió de fase, VL és la tensió de línia, IF és el corrent de fase, IL és el corrent de línia i φ és l'angle entre l'IF i la VF.
La potència d'un sistema trifàsic es pot calcular en magnituds de línia, independentment del tipus de connexió dels generadors o receptors.
Exemple de càlcul de les potències consumides per un sistema trifàsic
Suposeu que teniu un sistema trifàsic. En sabeu les dades següents: VF = 240 V, IF = 40 A, cosφ = 0,7. Heu de calcular les potències que consumeix el sistema. D'entrada, atès que les dades de què disposeu són les de fase i no sabeu res del tipus de connexió, fareu servir les fórmules de la potència que operen amb les dades de fase.
A més a més, heu de calcular el sinus i el cosinus de l'angle a partir de la dada inicial del cosinus (cosφ = 0,7). Amb la calculadora podeu obtenir primer l’angle i després el sinus:
Ara, cal fer el següent:
Aquest exemple és idèntic a l'exemple que hem fet servir per a la connexió en estrella. Indica que la potència és la mateixa amb independència del tipus de connexió si en les fases hi ha les mateixes tensions i els mateixos corrents. De totes maneres, observeu que hi ha les diferències següents:
En el cas de la connexió en estrella, en la línia hi ha una tensió VL = 415,7 V i un corrent IL = 40 A.
En el cas de la connexió en triangle, en la línia hi ha una tensió VL = 240 V i un corrent IL = 69,28 A.
Per tant, la càrrega que produeix aquest corrent no pot ser la mateixa en la connexió en estrella que en la connexió en triangle.
2.2. Correcció del factor de potència
De la mateixa manera que es pot millorar el factor de potència monofàsic, també és possible millorar el factor de potència en un sistema trifàsic. Aquesta correcció es fa mitjançant una bateria de condensadors que, connectats en estrella o en triangle, s'acoblen en derivació a la xarxa elèctrica per compensar (vegeu la figura 8).
La manera més habitual de compensar l'energia reactiva és fer-ho mitjançant bateries automàtiques trifàsiques de condensadors.
Figura 8. Correcció del factor de potència amb condensadors
El procediment per calcular la bateria de condensadors trifàsica és pràcticament igual que el procediment per calcular les monofàsiques. En funció de si les bateries estan connectades en estrella o en triangle, algunes de les seves característiques canviaran.
Exemple de càlcul d'una bateria de condensadors connectats en estrella
Suposeu que per il·luminar una sala de dibuix cal fer servir 60 làmpades fluorescents de 40 W / 230 V a baixa freqüència amb un FP = 0,6. Les làmpades s'han connectat de manera equilibrada a una xarxa trifàsica de 400 V entre fases, tal com es mostra en la figura 9. Dimensioneu la bateria de condensadors en estrella que caldrà posar a la línia general que alimenta la instal·lació per arreglar l'FP a 0,97.
Figura 9. Correcció del factor de potència amb condensadors
Primer calculareu la potència total instal·lada, que és la següent:
La potència de cadascuna de les fases de la bateria de condensadors serà un terç del total:
El corrent de fase de cada condensador es calcula a partir d'aquesta potència i del fet que el condensador està sotmès a la tensió de fase, ja que està connectat en estrella:
Ara ja podeu calcular la reactància i la capacitat del condensador:
Si el circuit està a 50 Hz, tenim el següent:
2.3. Mesures de tensió i intensitats en sistemes trifàsics
Per efectuar les mesures de la tensió i les intensitats en sistemes trifàsics, es fa servir un voltímetre o un amperímetre. A l'hora de fer les lectures de la tensió i les intensitats es començarà sempre per la mesura de les intensitats i després, la de la tensió.
2.3.1. Mesures d'intensitats en sistemes trifàsics
Polímetre
La mesura de la intensitat es fa mitjançant un amperímetre, que es connecta en sèrie al circuit del qual es vol mesurar el corrent (vegeu la figura 10).
Figura 10. Mesura d'intensitat amb amperímetre
A l'hora de mesurar un corrent altern és indiferent la polaritat de connexió. Recordeu, però, que a l'hora de mesurar la intensitat, si el corrent és continu, cal connectar l'amperímetre en funció de la polaritat del circuit. Si no us donarà un resultat negatiu a la pantalla. Quan el corrent que es vol mesurar és molt elevat, no es fàcil trobar un aparell adequat que permeti mesurar-lo directament. En aquests casos, per a corrent altern s'utilitzen els transformadors d'intensitat. En la figura 11 es mostra un circuit en què s'ha connectat un transformador d'intensitat a la línia amb l'objectiu de mesurar el corrent elevat que hi passa.
Es fabriquen transformadors…
…de les intensitats primàries següents: 5, 10, 15, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 250, 300, 400, 500, 600, 750, 800, 1000, 1200, 1500, 2000, 2500, 3000, 4000 i 5000.
Figura 11. Mesura d'intensitat amb un transformador
El transformador d'intensitat consta de dos circuits:
- El primari es connecta a la línia de què es vol mesurar el corrent.
- El secundari es connecta entre els extrems de l'amperímetre.
El transformador d'intensitat aconsegueix que pel circuit secundari, al qual es connecta l'amperímetre, circuli un corrent reduït i sempre proporcional al corrent del circuit primari, connectat amb el circuit que es vol mesurar. D'aquesta manera, s'aconsegueix reduir considerablement el corrent per l'amperímetre, tot i que cal, com és palès, conèixer la proporció en la reducció del corrent per poder interpretar després la mesura de l'amperímetre. Per aquest motiu, els fabricants de transformadors proporcionen una característica, coneguda com a relació de transformació, que indica la relació entre el corrent primari I1 i el secundari I2:
A la placa de característiques dels transformadors d'intensitat apareixen els valors de la intensitat nominal del primari i del secundari. Així, per exemple, la característica 100/5 ens indica que quan passa una intensitat de 100 A pel primari, només passa una intensitat de 5 A pel secundari connectat a l'amperímetre.
2.3.2. Mesures de tensió en sistemes trifàsics
Per mesurar la tensió es fa servir el voltímetre, un aparell que es connecta entre els extrems de la tensió que es vol mesurar (vegeu la figura 12). Un mitjà per ampliar el límit de mesura d'un voltímetre consisteix a utilitzar resistències en sèrie o transformadors.
Figura 12. Mesurar la tensió amb voltímetre
Quan es tracta de mesurar tensions elevades en corrents alterns només es poden fer servir transformadors. La figura 13 mostra un transformador de tensió connectat a la línia, amb l'objectiu de mesurar la tensió elevada que hi ha. El transformador de tensió consta de dos circuits: el primari, que es connecta entre els extrems de la línia en què es vol mesurar la tensió, i el secundari, que es connecta entre els extrems del voltímetre.
Tal com passava…
…amb els transformadors d'intensitat, a la placa de característiques dels transformadors de tensió apareixen els valors de la tensió nominal del primari i del secundari.
Figura 13. Esquema de connexió d'un transformador de tensió
Si la característica és 5.500/110 V, per exemple, indica que quan s'aplica una tensió de 5.500 V en el primari, en el secundari, al qual està connectat el voltímetre, apareixen només 110 V.
El transformador de tensió aconsegueix que en el circuit secundari, al qual es connecta el voltímetre, hi hagi una tensió més reduïda i sempre proporcional a la que està sotmès el primari, que també està connectat al circuit a mesurar (el secundari). D'aquesta manera, s'aconsegueix reduir considerablement la tensió que s'aplica al voltímetre. Per poder fer mesures posteriorment al voltímetre, cal saber la proporció de la reducció de tensió. Els fabricants dels transformadors proporcionen la relació de transformació, que indica la relació entre la tensió que hi ha en el primari V1 i en el secundari V2:
2.4. Mesures de potència activa i energia en sistemes trifàsics
La mesura de potència en els sistemes trifàsics es pot fer mitjançant wattímetres monofàsics, connectats de tal manera que s'aconsegueix mesurar la potència activa de la càrrega. La mesura d'una potència amb càrrega desequilibrada es fa de la mateixa manera que en el cas d'una càrrega equilibrada.
El wattímetre és un aparell per mesurar la potència elèctrica consumida en un circuit.
El número de wattímetres que cal fer servir a l'hora de mesurar i la manera de dur a terme l'acte de mesurament depèn de la línia (3 o 4 fils) i de la càrrega (equilibrada o desequilibrada).
2.4.1. Mesures de potència activa en sistemes amb neutre: càrregues desequilibrades
Aquesta es la manera més comuna de mesurar la potència en línies de distribució d'energia. En aquests casos, com en els edificis d'habitatge en què és pràcticament impossible trobar un equilibri entre les fases, se subministra el neutre (vegeu la figura 14).
Figura 14. Esquema de connexió de mesures de potències en sistemes trifàsics amb neutre i càrregues desequilibrades, i tres wattímetres
La pinça amperimètrica de cadascun dels tres wattímetres es connecta en sèrie amb cada conductor de cada línia. D'aquesta manera, cada pinça mesura la intensitat de cada línia, respectivament. Els voltímetres, que es connecten entre cada fase i el neutre, mesuren cadascuna de les tensions de fase.
Cada wattímetre indica la potència en cadascuna de les fases.
La potència activa del sistema serà la suma de la potència que apareix en cadascuna de les fases, ja que coincideixen amb la suma de les lectures dels tres wattímetres.
2.4.2. Mesures de potència activa en sistemes amb neutre: càrregues equilibrades
En cas de càrregues equilibrades, només cal connectar un únic wattímetre amb l'amperimètrica a una de les línies i el voltímetre entre la fase i el neutre, tal com es mostra en la figura 15. Atès que les càrregues són totes iguals, la potència de la càrrega trifàsica s'obté multiplicant per tres la lectura del wattímetre.
Figura 15. Esquema de connexió de mesures de potències per a sistemes trifàsics amb neutre i càrregues equilibrades
2.4.3. Mesures de potència activa en sistemes sense neutre: càrregues equilibrades
En aquest cas, el sistema no té neutre i, per tant, cal crear-ne un. Per fer-ho, cal connectar dues càrregues addicionals, R1 i R2, del mateix valor que la bobina voltimètrica, amb la finalitat de crear un neutre artificial (vegeu la figura 16).
Figura 16. Esquema de connexió de mesures de potències per a sistemes trifàsics sense neutre i càrregues equilibrades
La potència és tres vegades el que mesuri el wattímetre.
2.4.4. Mesures de potència activa per a sistemes sense neutre: càrregues desequilibrades
Connectant tres wattímetres, tal com es mostra en la figura 17, es pot mesurar la potència de cadascuna de les càrregues.
Figura 17. Esquema de connexió de mesures de potències per a sistemes trifàsics sense neutre i càrregues desequilibrades
La potència total s'obté de la suma de les lectures de cadascun dels wattímetres.
2.4.5. Mesures d'energia en sistemes trifàsics
El mesurament de l'energia elèctrica es fa mitjançant comptadors d'energia, aparells que mesuren el producte de la potència pel temps.
Per aquest motiu fan servir un sistema similar al d'un wattímetre, que mitjançant un circuit voltimètric i un altre d'amperimètric permet mesurar la potència. Per tal d'enregistrar el valor del producte P · t, incorporen un sistema de rellotgeria. El resultat gairebé sempre s'expressa en kilowatts hora (kWh).
2.5. Càlcul de caigudes de tensió en línies trifàsiques de CA
Cada línia trifàsica és en ella mateixa una línia monofàsica, la qual cosa vol dir que, tal com passava en el cas d'una sola línia, també hi ha una caiguda de tensió en les línies en cadascun dels conductors.
La caiguda de tensió entre fases serà 
més gran que la simple 
.
D'aquesta manera, tenim el següent:
Aquí, ΔV és la caiguda de tensió composta i expressada en V, RL és la resistència de la línia en Ω, IL és el corrent eficaç en la línia expressat en A i cosφ és el factor de potència (FP) de la càrrega.
Com ja heu fet en altres casos, la secció S del conductor es dedueix a partir de l'expressió de la resistència en funció de la resistivitat:
!!
En la secció “Annexos” del web del mòdul trobareu disponible la taula sobre gruixos de cables inclosa en la ITC-BT 19 del REBT.
Aleshores, si se substitueix l'expressió anterior en la primera i s'opera, dóna el resultat següent:
Aquí, S és la secció del conductor, expressada en mm2; ρ és la resistivitat de la línia, expressada en Ω·mm2/m; L és la longitud de la línia, expressada en m; IL és el corrent eficaç en la línia, expressat en A; cosφ és el factor de potència (FP) de la càrrega i ΔV és la caiguda de tensió composta, expressada en V.
A l'hora de triar el calibre dels cables, s'ha d'agafar la secció de gruix immediatament superior al valor obtingut en la fórmula, segons la taula inclosa en la ITC-BT 19 del REBT, que indica que pel cable només podrà passar un màxim de corrent determinat en funció de les característiques i de la secció. Cal comprovar que el corrent màxim en la instal·lació sigui inferior al corrent màxim permès en els cables triats. Si no, caldrà triar uns cables amb una secció superior que garanteixin que el corrent quedi per sota del màxim permès.
Exemple de càlcul de la secció recomanable de cable
Si la línia general és a 400 V i alimenta un petit taller que posseeix una longitud de 150 m, quina és la secció més recomanable si es demana que la caiguda de tensió no superi el 2% de l’alimentació? Per esbrinar-ho, heu de tenir en compte aquests dades:
Característiques dels cables: 3 conductors unipolars i 1 de neutre de PVC en un tub encastat a l'obra; Corrent de línia IL = 78 A
Factor de potència: 
Resistivitat del coure: 
D'entrada, cal calcular la caiguda màxima permesa de tensió en volts:
Aleshores, podeu passar a calcular la secció, tenint en compte el corrent amb el factor de potència:
De la taula inclosa en la ITC-BT 19 del REBT es desprèn que la secció comercial de cable serà de 35 mm2. El corrent màxim permès en cables d'aquesta secció i d'aquestes característiques és de 96 A. Com que aquest valor és superior als 78 A que teniu en la vostra instal·lació, la secció triada és adequada.
